2023年度 北嶺中学校 算数 分析と解説 (大問5)

◎大問5

周回タイプの時間と速さの問題です。

近年、北嶺中学の大問4、5は文章量が多いのですが、本年度の大問5もまた条件設定の複雑な長文大問でした。

計算そのものは典型的な旅人算なので、文章を読みとる力が正誤に大きく影響したのではないでしょうか。

 

 

(1)

立体図形として考えると複雑になるので、上から見たときの図で考えましょう。

B君はAさんと正反対の位置に来るたびに速度を増していきます。

このとき、Aさんの正反対の位置をA’とすると、上から見たときのBとA’が重なるとき、B君の速度が増すといえます。

①

B君の速さが秒速1mに変わるのは、上から見たときのBとA’がはじめて重なったときです。

上から見たA、B、A’の関係は、それぞれ次の図のようになっています。

坂道の長さは90mで、この正六角柱を3周していることから、正六角柱の周りの長さは90÷3=30(m)です。

ここから、はじめBとA’は30÷2＝15(m)離れていることがわかります。

したがって、BとA’がはじめて重なるのは15÷(0.5+1)=10(秒後)になります。

\(\underline{\rm{答.10秒後}}\)

 

②

BとA’がはじめて重なったとき、上から見た図は次の図のようになっています。

BとA’は正六角形の1周、つまり30m離れているといえます。

ここから、以下の表を作ることができます。

 

回数	1	2	3	4
秒数	10秒	10+30÷(1+1)=25秒	25+30÷(1+1.5)=37秒	37+30÷(1+2)=47秒
Aが進んだ距離	10m	25m	37m	47m
Bの速度	0.5\(\rightarrow\)1.0	1.0\(\rightarrow\)1.5	1.5\(\rightarrow\)2.0	2.0\(\rightarrow\)2.5
Bが進んだ距離	5m	5+1×15=20m	20+1.5×12=38m	38+2×10=58m
2人が進んだ距離の合計	10+5=15m	25+20=45m	37+38=75m	47+58=105m

BとA’が4回目に重なったとき、2人が進んだ距離の合計は105mで、坂道の長さ90mより長くなっています。

このことから、AさんとB君が出会ったのは、BとA’が3回目に重なってから4回目に重なるまでの間であることがわかります。

したがって、B君が速さを変えた回数は3回です。

\(\underline{\rm{答. 3回}}\)

 

③

まず、時間を求めます。

BとA’が3回目に重なったとき、2人の距離は90－75＝15(m)離れています。

ここから2人が出会うまでの時間は、15÷(1+2)=5(秒)なので、出発してから37+5=42(秒後)になります。

次に、高さを求めます。

坂道の長さが90m、建物の高さが9mなので、ある地点の高さは、地点Qから道のりの\(\cfrac{1}{10}\)倍にあたります。

AさんとB君が出会った場所の地点Qからの道のりは、坂道全体の道のりからからAさんが歩いた距離を除いた、90-42＝48(m)です。

したがって、この場所の高さは、\(48\times\cfrac{1}{10}=4.8(\rm{m})\)です。

\(\underline{\rm{答. 42秒後、4.8m}}\)

 

 

(2)

上の表から、B君が坂道を下り始めたのは、BとA’が4回目に重なる47秒後です。

このときの上から見た図は次の図のようになっています。

BとA’が同じ方向に移動しているので、次に重なるまで30÷(2.5-1)=20(秒)かかります。

このとき、B君はQから58-2.5×20=8(m)のところにいます。

B君は、この8mを秒速3mで移動するので、Qまで8÷3=\(2\cfrac{2}{3}\)秒かかります。

したがって、B君が地点Qに戻ってくるのは\(47+20+2\cfrac{2}{3}=69\cfrac{2}{3}\rm{秒後}\)です。

\(\underline{\rm{答. 69\cfrac{2}{3}秒後}}\)