2015年 ラ・サール中学校 算数
今回は、九州有数の進学校であるラサール中学校の算数を取り上げます。
本校の入試は算数100点・国語100点・理科50点・社会50点の300点満点で、
近年の合格ラインは180点前後です。
例年の各教科の合格者平均と不合格者平均の得点差は、
算数12～16点、国語6～9点、理科4～6点、社会3～5点となっています。
算数の結果が、合否を大きく左右する入試と言えます。
本年度入試の平均点は未発表ですが、昨年度の大問5のような難問は1問も見られませんでした。
大問2の小問も解きやすい問題が多かったので、全体には昨年度にくらべてかなり易化しました。
合格するには最低7割以上、できれば8割以上の高得点が欲しいところです。
なお、過去5年間の標準札幌校からの合格率は89.5％で、高い合格率を維持しています。
2015年の算数の総解答数は20題でした。
制限時間が60分と十分にあるので、いそがしい入試ではありません。
出題内容は、次の通りです。
大問1(12点) 計算問題3題12点)
大問2(30点)
(1)数の性質(分数)
(2)比と割合
(3)相当算
(4)平面図形(折り返しと角度)
(5)平面図形(面積と比)
大問3(15点) 時計の短針と長針の角度
大問4(12点) 平面図形(三角形の面積と辺の比)
大問5(16点) 立体図形(地面にできるかげ)
大問6(15点) 速さと比
算数入試の特色として、「毎年の出題傾向がほぼ一定である」ということが挙げられます。
後半の大問4題のうち、「速さと比」「平面図形」「立体図形の求積」の3分野から1題ずつ出題され、
残りの1題は「数の性質」「場合の数」「文章題(ニュートン算・仕事算・損益算など)」などの分野から
年替わりで出題されます。
なお、本校の算数の入試問題は、全国的にもめずらしい「手書き」スタイルです。
大問ごとの配点が問題用紙に明記されているのも、大きな特徴です。
今回は、本校の入試の典型的な出題となった大問4と大問6を取り上げて解説します。
このうち、大問4は「チェバ切り」という解法を知っていればきわめて平易なので、
合格するためには絶対に正解したい問題です。
2016年度の道内の中学入試でも、十分に出題の可能性のある解法です。
1年後に入試をひかえた受験生で未習得の人は、是非この機会に理解しておきましょう。
大問6はやや難度が高めですが、(1)さえ解ければ(2)は容易に正解できます。
速さの比と時間の比の関係を理解するには、もってこいの良問です。
「チェバ切り」(関西の学習塾では「ベンツ切り」と呼ばれることが多いようです)という手法を知っていれば、
2～3分で完答できます。
法則自体はきわめて単純です。
下の図で、
三角形ＡＢＤ ： 三角形ＡＣＤ ＝ ＢＥ ： ＥＣ
(1)
面白さ☆☆ 難度Ｂ
ＡＤ ： ＤＣ ＝ 1 ： 3 なので、三角形ＡＢＤ ： 三角形ＣＢＤ ＝ 1 ： 3 となり、
三角形ＣＢＤ＝三角形ＡＢＣ×3/4になります。
条件から、三角形ＢＣＥ＝三角形ＡＢＣ×2/5 なので、
三角形ＣＤＥ＝三角形ＣＢＤ－三角形ＢＣＥ＝三角形ＡＢＣ×(3/4－2/5)＝三角形ＡＢＣ×7/20
よって、三角形ＣＤＥ ： 三角形ＡＢＣ ＝ 7 ： 20 になります。
答え 7：20
(2)
面白さ☆☆ 難度Ｂ
三角形ＡＣＥ ： 三角形ＣＤＥ ＝ ＡＣ ： ＤＣ ＝ 4 ： 3 なので、
三角形ＡＣＥ＝三角形ＣＤＥ×4/3＝三角形ＡＢＣ×7/20×4/3＝三角形ＡＢＣ×7/15になります。
よって、ＡＦ ： ＦＢ ＝ 三角形ＡＣＥ ： 三角形ＢＣＥ ＝ 7/15 ： 2/5 ＝ 7 ： 6 になります。
答え 7：6
(1)
面白さ☆☆☆ 難度Ｃ
花子の出発が6分おくれたので、最初の6分間は太郎だけが進んでいます。
花子と太郎の速さの比は、16 ： 4 ＝ 4 ： 1 、
（花子と太郎の速さの和）：（太郎の速さの比）は、 （4＋1） ： 1 ＝ 5 ： 1 なので、
太郎が6分で進む道のりを、花子と太郎が向かい合って進むと、6×1/5＝1.2(分)で進むことができます。
よって、2人が出会うのは予定よりも、6－1.2＝4.8(分)おそくなります。
このとき、2人が出会うまでに花子が進む時間は予定よりも1.2分短くなるので、
2人が出会うのは、Ｃ地点よりも16×1000×1.2/60＝320(ｍ)だけＡ地点に近いところになります。
答え 4.8分・320ｍ
(2)
面白さ☆☆☆ 難度Ｃ
花子は出発が6分おくれたので、Ｃ地点につくのも6分おくれます。
よって、太郎がＣ地点に着いたとき、
花子はＣ地点まであと、16×6/60＝1.6(㎞)の地点を進んでいます。
このときの花子の位置をＤ地点とします
太郎がＣ地点に着いてすぐに引き返し、追いかけてくる花子とちょうどＢ地点で出会ったとすると、
ＤＢ ： ＣＢ ＝ 4 ： 1 (花子と太郎の速さの比と同じになる)、
ＤＣ ： ＣＢ ＝ （4－1） ： 1 ＝ 3 ： 1 なので、ＣＢ＝1.6×1/3＝8/15(㎞)になります。
このとき、ＡＣ ： ＣＢ ＝ 4 ： 1 (花子と太郎の速さの比と同じになる)、
ＡＢ ： ＣＢ ＝ （4＋1） ： 1 ＝ 5 ： 1 より、
ＡＢ＝8/15×5＝8/3(㎞)になります。
図で表すと下のようになります。
実際には、太郎がＢ地点に戻るまでには、花子が太郎に追いついていないので、
ＡＢ間の道のりは8/3㎞より短くなります。
答え 8/3㎞以下