Vic's粒子

今回は、大問Ⅲを取り上げて解説します。

例年、大問Ⅲでは図形関係の小問が計5題出題されています。

本年度の出題のうち、最初の4題は標準的な難度の問題でしたが、

最後の立体切断の問題は大変難しい問題でした。

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大問Ⅲ

 

〔1〕

面白さ☆　　難度Ａ

下の図のように、点Ｄ、Ｅ、Ｆを決めると、

四角形ＡＢＣＤは平行四辺形となり、その面積は　9×8＝72(㎠)　になります。

ここから、三角形ＡＤＢ、三角形ＢＥＣ、三角形ＡＣＦの面積の和を引くと、

三角形ＡＢＣの面積が求められます。

三角形ＡＤＢ　＝　1×8÷2　＝　4(㎠)　、

三角形ＢＥＣ　＝　8×6÷2　＝　24(㎠)　、

三角形ＡＣＦ　＝　9×2÷2　＝　9(㎠)　より、

三角形ＡＢＣ　＝　72－(4＋24＋9)　＝　35(㎠)　になります。

答え　35㎠

〔2〕

面白さ☆☆　　難度Ａ

ＡＥを折り目として折り曲げると、ＡＤがＡＢと重なることから、

三角形ＡＤＥと三角形ＡＢＥが合同であることがわかります。

よって、角ＢＡＣ　＝　30°×2　＝　60°

ＡＤ＝ＡＢより、角ＡＤＢ　＝　角ＡＢＤ　＝　(180°－60°)÷2　＝　60°

ＥＤ＝ＥＢより、角ＥＤＢ　＝　角ＥＢＤ　＝　100°－60°　＝　40°　になります。

さらに、ＣＤとＢＤが重なることから、ＣＤ＝ＢＤより、

角ＤＣＢ　＝　角ＤＢＣ　＝　(180°－40°)÷2　＝　70°　なので、

角(ア)　＝　70°－40°　＝　30°　になります。

答え　30度

〔3〕

面白さ☆　　難度Ａ

下の図のように、街灯のてっぺんを点Ｏ、ケイコさんの頭のてっぺんを点Ｄとします。

分速60ｍ＝秒速1ｍ　なので、ＡＢ　＝　1×6.8　＝　6.8(ｍ)　です。

三角形ＯＡＣと三角形ＤＢＣは相似なので、

ＯＡ：ＡＣ　＝　ＤＢ：ＢＣ　＝　5：(6.8＋3.2)　＝　5：10　＝　1：2

となるので、ＤＢ　＝　3.2÷2×1　＝　1.6(ｍ)　になります。

よって、ケイコさんの身長は、1.6ｍ　＝　160㎝　になります。

答え　160㎝

〔4〕

(1)

面白さ☆☆　　難度Ａ

この立体の見取り図は、下の図のようになります。

図のように、点Ｆ、Ｇを決めると、

この立体は、五角形ＡＥＣＦＧを底面として、高さが40㎝の五角柱になります。

五角形ＡＥＣＦＧの面積は、20×20＋20×40÷2＝800(㎠)　なので、

体積は、800×40＝32000(㎤)　になります。

答え　32000㎤

(2)

面白さ☆☆　　難度Ａ

切り口の平面は、下図の斜線部のようになります。

図のように点Ｈを決めると、この立体はそれぞれ

三角形ＡＥＨ、三角形ＥＣＦ、三角形ＨＦＧを底面として、

高さがすべて40㎝の3つの三角柱に分けられます。

3つの三角柱のうち、もっとも体積が大きいのは、

三角形ＨＦＧを底面とする三角柱なので、

真横から見た図を利用して、三角形ＨＦＧの面積を求めます。

この立体を真横から見た図で、上のように点Ｉを決めます。

このとき、ＧＨ：ＨＩ　＝　ＧＦ：ＡＩ　＝　40：20　＝　2：1　より、

ＧＦを底面としたときの三角形ＨＧＦの高さは、

40÷(2＋1)×2　＝　80/3(㎝)　になります。

三角形ＨＧＦの面積は、40×80/3÷2　＝　1600/3(㎠)　なので、

三角形ＨＦＧを底面とする三角柱の体積は、

1600/3×40　＝　64000/3(㎤)　になります。

 

答え　64000/3(㎤)