2014年 立命館慶祥中学校 算数(2)
今回は、大問Ⅴを取り上げて解説します。点の移動と図形の面積の問題です。
標準的な難度の問題ですが、最後の小問を自信を持って解答するのは、少し難しそうです。
［1］
難度Ａ 面白さ☆☆
ＢＣを三角形ＡＰＤの高さと考えると、三角形ＡＰＤの面積が最大になるのは、
底辺の長さが最大になるときです。
点ＰがＢに来たとき、底辺の長さが6㎝で最大になります。
6÷1＝6(秒後)
答え 6秒後
［2］
難度Ｂ 面白さ☆☆
ここでも、ＢＣを台形ＡＢＣＤおよび三角形ＡＰＤの高さと考えます。
台形の上底と下底の長さの和は、3＋6＝9(㎝)なので、
三角形ＡＰＤの面積が台形の面積の1/2になるのは、
底辺の長さが、9÷2＝4.5(㎝)になるときです。
1回目
点Ｐが辺ＡＢ上にあるときは、ＡＰ＝4.5㎝になればよいので、4.5÷1＝4.5(秒後)です。
2回目
点Ｐが辺ＢＣ上にあるときは、Ｐを通り台形の上底・下底に平行な直線と
辺ＡＤとの交点をＥとして、線分ＰＥを三角形ＡＰＤの底辺と考えます。
ＰＥ＝4.5㎝になるのは、点Ｐが辺ＢＣの真ん中に来たときです。
(このとき、ＰＥの長さは台形の上底と下底の長さの平均に等しくなります。)
点Ｐは、6＋6÷2＝9(㎝)進んでいるので、9÷1＝9(秒後)です。
答え 4.5秒後、9秒後
点Ｐが出発してからの時間と、三角形ＡＰＤの面積の関係を
グラフに表しても求めることができます。
［3］
(1)
難度Ｂ 面白さ☆☆
6秒後の点Ｐ、Ｑの位置は、下図のようになります。
辺ＡＢの真ん中の点をＦとすると、三角形ＡＢＱと三角形ＡＦＢは、
いずれも直角をはさむ2辺の長さが6㎝と3㎝になり、合同な三角形だとわかります。
等しい角に印をつけると図のようになり、(ア)の角は90度であることがわかります。
答え 90度
(2)
難度Ａ 面白さ☆☆
3秒後の点Ｐ、Ｑの位置は、下図のようになります。
このとき、ＡＱとＤＰの交点をＧとすると、三角形ＡＰＧと三角形ＱＤＧは
合同な直角二等辺三角形になっています。
三角形ＡＰＤと三角形ＡＱＤが重なる部分(三角形ＡＧＤ)の面積は、
3×3÷2＝4.5(㎠)です。
答え 4.5㎠
(3)
難度Ｂ 面白さ☆☆
「三角形ＡＰＤと三角形ＡＱＤが重なる部分の面積が最大になるのは、
おそらく点Ｐと点Ｑが重なるときだろう」
と直感的に考えることができれば、図形のセンスが磨かれつつありますね。
理由は、点Ｐと点Ｑが重なるとき、三角形ＡＰＤと三角形ＡＱＤが完全に一致するからです。
点Ｐと点Ｑが重なるのは、(3＋6＋6)÷(1＋1)＝7.5(秒後)です。
［2］のグラフからもわかるように、三角形ＡＰＤの面積は、7.5秒後以降は減少を続けます。
一方、三角形ＡＱＤの面積は、出発してから点ＱがＢに来る(3＋6)÷1＝9(秒後)までは
増加を続けます。
以上のことから、重なる部分の面積が最大になるのは，7.5秒後となります。
答え 7.5秒後