2014年 ラサール中学校 算数(1)
今回は、九州有数の進学校であるラサール中学校の問題を取り上げます。
本校の入試は算数100点・国語100点・理科50点・社会50点の300点満点で、
近年の合格ラインは180点前後です。
本年度入試の平均点は未発表ですが、
2013年度入試での各教科の合格者平均と不合格者平均の得点差は、
算数14.0点、国語7.4点、理科4.5点、社会3.8点となっています。
やはり、算数の点数が合否を大きく左右する入試と言えます。
2014年度は、標準札幌校から5名が挑戦し、全員合格を達成しました。
過去6年間の合格率は94％です。
2014度の出題内容は、次の通りです。
大問1(12点) 計算問題3問(12点)
大問2(30点)
(1)数の性質
(2)平面図形の面積
(3)倍数変化算
(4)平面図形(折り返しと角度)
大問3(17点) 速さと比
大問4(18点) 数の性質
大問5(13点) 平面図形(相似)
大問4(18点) 立体図形の体積
本校の算数入試の特色として、「出題傾向が毎年ほぼ一定である」ということが挙げられます。
後半の大問4題のうち、3題は
「速さと比」 「平面図形(図形の移動または相似)」 「立体図形の体積」
の3分野から1題ずつ出題され、残りの1題は
「数の性質」 「場合の数」 「文章題(ニュートン算・仕事算・損益算など)」
などの分野から年替わりで出題されます。
なお、ラサール中学校の算数の入試問題は、全国的にもめずらしい手書きスタイルです。
今回は、「これぞ、ラサール入試の平面図形」という典型的な出題となった
大問5を取り上げて解説します。
2014年度の入試では、最も難しい問題です。
うまく補助線を引くことができれば、おなじみの相似が見つかります。
(1)
難度C 面白さ☆☆☆
三角形ＦＥＨと三角形ＣＤＥの面積が等しいことを利用します。
ＣＦ、ＤＨを結ぶと、三角形ＦＤＨ(＝三角形ＦＥＨ＋三角形ＥＤＨ)と、
三角形ＣＤＨ(＝三角形ＣＤＥ＋三角形ＥＤＨ)の面積が等しくなるので、
ＣＦとＤＨが平行であることがわかります。
(ＨＤを底辺としたときの、三角形ＦＤＨと三角形ＣＤＨの高さが等しいからです。)
ＣＦ:ＤＨ＝ＢＣ:ＢＤ＝3:(3＋2)＝3:5 となり、相似より、
ＣＥ:ＥＨ＝ＣＦ:ＤＨ＝3:5 と求められました。
答え 3:5
(2)
難度C 面白さ☆☆☆
ＧＨ、ＢＥを結ぶと、(1)と同様に考えて、ＧＨとＢＥは平行になります。
ＣＦとＤＨが平行であることから、ＢＦ:ＦＨ＝ＢＣ:ＣＤ＝3:2 となり、
相似より、ＢＥ:ＧＨ＝ＢＦ:ＦＨ＝3:2 です。
さらに、ＡＢ:ＡＧ＝ＡＥ:ＡＨ＝ＢＥ:ＧＨ＝3:2 なので、
ＡＧ:ＧＢ＝ＡＨ:ＨＥ＝2:(3－2)＝2:1 です。
(1)の結果と合わせると、ＡＨ:ＨＥ:ＥＣ＝(5×2):5:3＝10:5:3 です。
これで準備完了です。
斜線の3つの三角形の面積はすべて等しいので、
三角形ＢＦＧのかわりに、三角形ＥＣＤの面積を求めます。
三角形ＡＢＣと三角形ＥＣＤを比べると、
底辺の長さの比は、ＢＣ:ＣＤ＝3:2、
高さの比は、ＡＣ:ＥＣ＝(10＋5＋3):3＝18:3＝6:1 になっているので、
面積の比は、(3×6):(2×1)＝18:2＝9:1 です。
三角形ＥＣＤの面積は、72×1/9＝8(㎠) と求められました。
答え 8㎠
(3)
難度B 面白さ☆☆
(2)と同様に考えれば、簡単に求められます。
三角形ＡＢＣと三角形ＢＤＧを比べると、
底辺の長さの比は、ＢＣ:ＢＤ＝3:5、
高さの比は、ＡＢ:ＧＢ＝3:1 になっているので、
面積の比は、(3×3):(5×1)＝9:5 です。
三角形ＢＤＧの面積は、72×5/9＝40(㎠) と求められました。
答え 40㎠
最初は、問題を解くための「取っ掛かり」を見つけにくく感じますが、
「一見して難しく思える図形も、実は基本図形の組み合わせである。」
という見本のような問題です。
「補助線の引き方」「相似の利用のしかた」「面積比の求め方」など、
受験算数に必要なさまざまなテクニックを確認できる良問なので、
ラサールの志望者に限らず、ぜひとも解法を習得して下さい。