2012年 北嶺中学校 算数(2)
『北嶺突破ゼミ』開講に合わせて、過去の北嶺入試で出題された難問や、合否を分けた問題を取り上げて解説をしています。
今回は、2012年の大問2(4)と大問3です。
どちらの問題も、前回解説した同年度の大問5に比べて平易ですが、
逆に言うと「本番で不正解だと、大きく差がついてしまう問題」です。
大問2(4)は「奇点」、「偶点」という考え方、
大問3はダイヤグラム(進行グラフ)を用いた解法がポイントです。
問題は標準札幌校のホームページの北嶺中学校過去入試問題からダウンロードできます。
大問２(4)
難度Ｂ 面白さ☆☆☆☆
「ある点に集まる線の本数」を考えます。
下図のＡ点には3本、Ｂ点には2本、Ｃ点には5本の線が集まっていることがわかります。
このとき、集まる線の本数が奇数であるような点を｢奇点｣、
集まる線の本数が偶数であるような点を「偶点」と呼びます。
①から⑤までの図形の「各点に集まる線の本数」を書き出してみると、下のようになります。
ここで、各図形の「奇点」の個数に注目すると、
①・・・4個、②・・・2個、③・・・4個、④・・・2個、⑤・・・4個となります。
ところで、「一筆書きできる図形」とは、いったいどのような図形でしょうか？
それは、「奇点の個数が2個以下の図形」です。
奇点の個数が2個ならば、一方の奇点から書き始めて
もう一方の奇点で書き終わることができます。
ところが、奇点の個数が3個以上になると、書き始めと書き終わり以外に、
途中で1個以上の奇点を通らないといけないので、一筆書きはできません。
この知識を知っていれば，一筆書きできるのは②と④の図であることがわかります。
答え ②と④
大問3
難度Ｂ 面白さ☆☆☆
このような速さの問題では、ダイヤグラムを用いた解法が極めて有効です。
それは2つ以上の人(点)が同時に動く様子をイメージするのが、大変難しいからです。
難関校志望者や北嶺上位合格を目指す受験生の多くは、
ふだんからダイヤグラムによる解法に習熟しているので、
問題文を一読してひるむことなく、ダイヤグラムの作成にとりかかります。
ダイヤグラムをかけない受験生は、どうしても正答率が低くなってしまうので、
そういう意味では、ふだんからの練習の差が正答率の差に直結する問題と言えるでしょう。
(1)
太郎と花子の動きをダイヤグラムに表すと、下のようになります。
太郎君と花子さんが出会った地点をＣ地点とします。
斜線部に注目すると、
太郎君はＡ地点→Ｃ地点間を、9時45分－8時＝1時間45分、
花子さんはＣ地点→Ａ地点間を、11時45分－9時45分＝2時間かかっています。
同じ道のりを進むのにかかる時間の比が、1時間45分：2時間＝7：8なので、
2人の速さの比は8：7(かかる時間の逆比)とわかります。
答え 8：7
(2)
太郎君と次郎君が出会った地点をＤ地点とします。
このとき、次郎君の自転車と花子さんの自転車の速さが同じことから、
図の四角形アイウエは平行四辺形になるので、
図のイウ間＝アエ間＝8時30分－7時30分＝60分です。
斜線部に注目すると、
太郎君はＤ地点→Ｃ地点間を、9時45分－9時10分＝35分、
次郎君はＤ地点→Ｃ地点間を60分－35分＝25分かかっています。
同じ道のりを進むのにかかる時間の比が、35分：25分＝7：5なので、
2人の速さの比は5：7(かかる時間の逆比)とわかります。
答え 5：7
(3)
下図をみると、太郎君がＣ地点→Ｂ地点間を進むのにかかる時間と、
花子さんがＢ地点→Ｃ地点間を進むのにかかる時間の比は、(2)と同様に7：5です。
よって、エオ間：オカ間＝7：5となります。
エオ間＝9時45分－8時＝75分なので、オカ間＝75分÷5×7＝105分となり、
太郎君がＢ地点に着く時刻は、9時45分＋105分＝11時30分とわかります。
答え 11時30分