2013年 北嶺中学校 算数(2)
今回は、大問３を取り上げます。
毎年、必ずどこかの学校の入試で出題される「場合の数」の代表的な問題です。
問題は、標準札幌校のホームページの北嶺中学校過去入試問題で
ご覧になれます。
(1)
難易度A 面白さ☆☆☆☆
使う上がり方(1度に上る段数)の組み合わせは、(1，2，3)と(2，2，2)の2種類あります。
あとはそれぞれの並べ方(順序)を考えて、
(1，2，3)は，3×2×1＝6(通り)、
(2，2，2)は，1×1×1＝1(通り)で、
合計6＋1＝7(通り)となります。
答え 7通り
中学入試では、組み合わせ → 並べ方という考え方が頻出です。
(A，B，C)のタイプ → 並べ方は6通り，
(A，A，B)のタイプ → 並べ方は3通り，
(A，A，A)のタイプ → 並べ方は1通り，
のようにパターン化して覚えておきましょう。
(2)
難易度B 面白さ☆☆☆☆
フィボナッチ数列を利用した場合の数の問題です。
まずは、「フィボナッチ数列」について、少し説明しておきましょう。
0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……のように、
前の2項の和が並ぶ数列をフィボナッチ数列といいます。
この数列の名前は、
中世で最も才能があったと評価されるイタリアの数学者
レオナルド・フィボナッチに由来します。
この数列自体は、インドの数学者の間では6世紀から知られており、
13世紀初頭にフィボナッチが初めて西洋に紹介しました。
「1段ずつ」と「1段飛ばし」の2種類の上がり方があるとき、
1段の階段の上がり方は、明らかに1通りです。
次に、2段の階段の上がり方は、(1段→1段，2段)の2通りです。
実は3段以降は、フィボナッチ数列の要領で、前の2項の和を求めれば、
上がり方が求められます。
整理すると、次のようになります。
1段 → 1通り
2段 → 2通り
3段 → 3通り(1＋2＝3)
4段 → 5通り(2＋3＝5)
5段 → 8通り(3＋5＝8)
6段 → 13通り(5＋8＝13)
答え 13通り
解法はわかりましたが、これだけでは「なぜそうなるのか」が
わかりませんね。
6段の場合を例にとって，簡単に説明しておきましょう。
「1段ずつ」と「2段飛ばし」の2種類の上がり方があるので、
6段の階段を上るときに最初にふみ出す1歩目は、
2段(残りは4段)、または1段(残りは5段)となります。
最初に2段上ったとき，残りの４段の上がり方は、
4段の階段の上がり方と同じ５通り。
最初に1段上ったとき、残りの5段の上がり方は、
5段の階段の上がり方と同じ8通り。
よって、6段の階段の上がり方は、
前の2項(4段と5段)の和に等しくなります。
7段以降も同様に、前の2項の和を求めれば、
上がり方が何通りあるかが求められます。
(3)
難易度B 面白さ☆☆☆☆
今度はトリボナッチ数列を利用した解法です。
0，0，1，1，2，4，7，13，24，44，……のように、
前の3項の和が並ぶ数列をトリボナッチ数列といいます。
「1段ずつ」，「1段飛ばし」，「2段飛ばし」の3種類の上がり方があるとき、(2)と同様に考えて、
1段の階段の上がり方は1通り、2段の階段の上がり方は2通りです。
次に、3段の階段の上がり方は、
(1段 → 1段 → 1段，1段 → 2段，2段 → 1段，3段)の4通りです。
4段以降は、トリボナッチ数列の要領で、前の3項の和を求めれば、上がり方が求められます。
整理すると、次のようになります。
1段 → 1通り
2段 → 2通り
3段 → 4通り
4段 → 7通り(1＋2＋４＝７)
５段→13通り(２＋４＋７＝13)
６段→24通り(４＋７＋13＝24)
答え 24通り
この問題も、最初にふみ出す1歩目(3段，2段、1段のいずれか)に
注目すれば、前の3項の和を求めればよいことがわかります。
ちなみに道外難関校の入試では、平成７年に大阪星光学院中学校で
トリボナッチ数列を利用した同様の問題が出題されています。
次回、北嶺中学校 算数(3)は、大問４の解説をおこないます。