2013年 北嶺中学校 算数 (1)
2013年度の出題内容は、次の通りです。
大問1 計算問題4問
大問2
- 整数の素因数分解
- お金の支払い方
- 速さと比
- 対戦表(勝ち負けの問題)
- 平面図形(円とおうぎ形)
大問3 階段の上がり方(フィボナッチ数列・トリボナッチ数列)
大問4 水面の高さ(水そう内の仕切りが動く問題)
大問5 立体図形(影の面積)
今回は、大問2の小問を取り上げて、順に解説していきます。
なお、問題は、標準札幌校ホームページの北嶺中学校過去入試問題で
御覧になれます。
(1)
難易度A 面白さ☆☆
【ア】×【イ】×【ウ】＝2013ということは、すぐにわかるので、
2013を素因数分解することを考えます。
2013の各位の数字の和は3の倍数(2＋0＋1＋3＝6)となっているので、
まずは、2013を3で割ってみると、2013÷3＝671となります。
ここからは試行が必要です。考え込まずに、どんどん手を動かすことが大事です。
671が3，5の倍数でないことは容易にわかるので、
÷7，÷11と、どんどん素数で割っていきましょう。
すると、671÷7＝95.8･･･，671÷11＝61となり、3×11×61＝2013とわかります。
ちなみに、以下で紹介する倍数の見分け方から、2013や671が11の倍数で
あることがわかります。
答え 【ア】3,【イ】11,【ウ】61
◎おもな倍数の見分け方
2の倍数･･･一の位が0,2,4,6,8のいずれか。
3の倍数･･･各位の数字の和が3の倍数。
4の倍数･･･下2けたの数字が、00または4の倍数。
6の倍数･･･各位の数字の和が3の倍数かつ、一の位が0,2,4,6,8のいずれか。
8の倍数･･･下3けたの数字が、000または8の倍数。
9の倍数･･･各位の数字の和が9の倍数。
11の倍数･･･各位の数字を1つおきに加えた和の差が、0または11の倍数。
※2013を例にとると、2＋1＝3,0＋3＝3,3－3＝0より、2013が11の倍数とわかります。
入試年度の数字を使った問題は、北嶺中学校に限らず、多くの中学入試で見られます。
2014年入試をひかえた受験生は、2014＝2×19×53という素因数分解を
覚えておいて損はないでしょう。
(2)
難易度A 面白さ☆☆☆☆
366円の支払い方に目がいきがちですが、「あること」に気がつくと、
簡単に正解にたどりつくことができます。
まず、最初の硬貨の枚数は、4＋13＋5＋4＝26(枚)で、
金額は1×4＋10×13＋50×5＋100×4＝784(円)です。
ここから366円の品物を買うと残金は、784－366＝418(円)になります。
ここで、この418円の硬貨の枚数を最も少なくすることを考えると,
418円→100円×4枚,10円×1枚,5円×1枚,1円×3枚となり、
枚数は4＋1＋1＋3＝9(枚)になります。
つまり、最初の枚数からは、26－9＝17(枚)減らすことができたわけです。
答え 17枚
ちなみに、このときの366円の支払い方は、50円玉5枚、10円玉12枚、1円玉1枚で、
50×5＋10×12＋1×1－366＝5(円)のおつりをもらうことになります。
やはり、上の解法のように、残金から考えるほうが効率がよいですね。
(3)
難易度B 面白さ☆☆☆
速さと比・逆比の関係の理解度が試される問題です。
A君とB君の所要時間の比は、50:60＝5:6なので、
A君とB君との速さの比は、6:5(速さの比の逆比)とわかります。
ここからが肝心です。
「周回コースを同じ向きに進んでいて、一方の走者がもう一方の走者を追いこす」
とは、いったいどういう状況でしょうか。
それは、「追いこす側が追いこされる側よりもちょうど1周だけ多く進む」ことを意味します。
ここでは、A君とB君との速さの比が6:5なので、A君が6周進むとB君が５周進み、
2人の周回数の差がちょうど1周になります。
つまり、A君は6周するごとに、B君を追いこすことがわかります。
A君は全部で25周するので、追いこしの回数は、
25÷6＝4(回)…1とわかります。
答え 4回
(4)
難易度B面白さ☆☆☆
問題の条件を正確に読み取ることができれば、確実に正解できる問題なのですが、
意外に苦戦した受験生が多かったようです。
大問2の中では、(1)、(5)とともに、ぜひとも正解しておきたい問題です。
まず、Bの勝ち点に注目すると、B-Dの対戦は、B○、D×とわかります。
次に、Eの順位に注目すると、EはC、D2チームとの対戦で2勝していることがわかります。
ここまでは、ほとんどの受験生が容易にたどり着けたはずです。
ここからが正解への正念場です。
次に、Aの勝ち点に注目すると、
AはC、D2チームとの対戦で1敗1引き分けであることがわかります。
つまり、C、Dのうちどちらか1チームはAに勝って、勝ち点3を得ています。
Cの勝ち点は2なので、CがAに勝っていることは考えられません。
よって、Aに勝ったのはDだとわかります。
以上より、A-Cの対戦は、A△、C△、
A-Dの対戦は、A×、D○とわかります。
あとは、Cの勝ち点から、C-Dの対戦は、C△、D△とわかります。
これで、以下のように、全ての対戦結果がわかりました。
勝ち点の合計は、5＋8＋2＋4＋7＝26(点)です。
答え 26点
次回、北嶺中学校 算数(2)は、大問３の解説をおこないます。