2023年度 北嶺中学校 算数 分析と解説 (大問3)

◎大問3

方陣算の問題です。

(1)は方陣算の基礎問題です。2問とも、確実に正解しましょう。

(2)①は、正面から書き出して解こうとすると非常に大変な問題です。約数の個数(数の性質)の問題だと気付けるかどうかが、勝負の分かれ目でしょう。

(2)②は①よりも容易な問題だったので、こちらを正解した受験生は多かったのではないでしょうか。

 

(1)

①

形Bのような方陣は、下の図のように4等分することができます。

この問いでの形Bは、内側の辺が11cm、幅が4cmです。これより、1つの長方形は\((11+4)\times4=60\)枚のタイルでできています。

したがって、タイルは全部で\(60\times4=240\)枚あります。

 

\(\underline{\rm{答. 240枚}}\)

 

②

形Aを52枚のタイルで部分は、幅が1cmの形Bだといえるので、下の図のようになります。

1つの長方形は\(52\div4=13\)枚のタイルからなり、幅が1cmなので、この長方形の長さは13cmです。

したがって、もとの形Aの1辺の長さは13-1=12cmになります。

\(\underline{\rm{答. 12cm}}\)

 

 

(2)

①

「長さや幅が異なる4種類の形B」を作るためには、形Bを分けてできる長方形も4種類作る必要があります。

長方形にならべたタイルの枚数は、(長さの枚数)×(幅の枚数)で求めることができます。

この長方形は、必ず(長さの枚数)＞(幅の枚数)でなくてはなりません(幅と長さが同じだと形Aになり、幅の方が大きくなると、形Bを作ることができません)。

したがって、長方形を作るタイルの枚数は4通りのかけ算で求められる数、つまり8個の約数を持つ数になります。

このような数のうち、もっとも小さい数は24なので、形B全体の枚数は、\(24\times4=96\)枚です。

\(\underline{\rm{答. 96枚}}\)

 

②

赤と青のタイルは同じ枚数あります。したがって、赤い形Bを4つに分けた長方形の長さと、青い形Bを4つに分けた長方形の長さの比は、幅の比の逆比となり、赤:青=1:2です。

このとき、赤の長さを\(\boxed1\)cm、青の長さを\(\boxed2\)cmとします。

赤い形Bの外側の長さは、\((\boxed1+6)\)cm、青い形Bの内側の長さは、\((\boxed2-3)\)cmとなり、問題文より両者が等しくなります。

よって、\(\boxed1=9\)、赤いタイルの枚数は\(9\times6\times4=216\)枚です。

\(\underline{\rm{答. 216枚}}\)