2021年 北嶺中学校 算数(3)
2021年度 北嶺中学校 算数 分析と解説 (大問3)
問題は標準札幌校ホームページの北嶺中学過去入試問題からダウンロードできます。
◎大問3
(1)
展開図が正方形になる三角すいの問題は、中学入試では頻出の問題です。北嶺中学校では、2009年の大問5においても出題されています。
この三角すいは、直角三角形MCNを底面としたとき、高さがAC=6cmになるので、体積は3×3÷2×6÷3=9(㎤)です。
次に、三角形AMNの面積は、正方形ABCDから三角形ABM、三角形AND、三角形MCNを取りのぞくことで求めることができます。
6×6-(6×3÷2×2+3×3÷2)=13.5(㎠)
三角形AMNを底面としたときの高さを□とすると、三角すいの体積は13.5×□÷3=9(㎤)とあらわすことができます。□=9×3÷13.5=2より、高さは2㎝です。
(2)
Aを含む立体は、三角形ABDを底面とし、辺AEを高さとする三角すいなので、体積は立方体の\(\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)です。これより、両者の体積の比は\(\frac{1}{6}\):(1-\(\frac{1}{6}\))=1:5になります。
(3)
A、C、Mを含む平面で立方体を分けるとき、その切り口は下の図のようになります。
2つに分かれた立体の表面積の差を問う問題ですので、切り口である四角形AMNCは考える必要がありません。
立方体の6つの面が、どちらの立体にどれだけ分けられたのかだけを考えればよいでしょう。
Hを含む立体 | Hを含まない立体 | 差 | |
面ABCD | 18㎠ | 18㎠ | 0㎠ |
面EFGH | 36-4.5=31.5㎠ | 3×3÷2=4.5㎠ | Hを含む立体が27㎠大きい |
面AEHD | 36㎠ | 0㎠ | Hを含む立体が36㎠大きい |
面DHGC | 36㎠ | 0㎠ | Hを含む立体が36㎠大きい |
面CGFB | 3×6÷2=9㎠ | 36-9=27㎠ | Hを含まない立体が18㎠大きい |
面BFEA | 3×6÷2=9㎠ | 36-9=27㎠ | Hを含まない立体が18㎠大きい |
各面の面積の差は上の表の通りです。これより、表面積の差は27+36×2-18×2=63(㎠)になります。