2020年 北嶺中学校 算数(3)
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大問5
高校数学で習う三角関数が、小学生にも正解できる範囲で出題されています。
直角三角形について、各辺の長さの割合が表にまとめられています。
例えば、あの角が20度のとき、(BCの長さ)/(ABの長さ)を考えてみましょう。
表の20°と(BCの長さ)/(ABの長さ)とが交差する数字を探します。
すると、(BCの長さ)/(ABの長さ)＝0.3640とわかります。
このように、表を活用しながら問題を考えていきましょう。
(1)
①
(ⅰ)
情報をまとめたうえで、分かりやすいように図を大げさにかいてみます。
このとき、図の赤い部分は、
下図の青い三角形と黄色の三角形との
相似形を使って求めることができます。
(高さ)：(底辺の長さ)＝3ｍ：18ｍ＝1：6より、
青い三角形の高さは6.4÷6＝16/15(ｍ)と分かります。
よって、光線は、壁の上端から16/15－1≒0.067(ｍ)上を通過しました。
(ⅱ)
下図のように、光線をDに近づけます。
このとき、BCの高さと壁の高さの比は3ｍ：1ｍ＝3：1なので、
下図のように考えることができます。
よって、光線の位置はDから11.6÷②＝5.8(ｍ)先になります。
②
いの角を10°にして、Cの高さを考えます。
下図の三角形について、BCの長さを求めます。角度が10°なので、表の10°を見てみましょう。
いま、分かっている長さは、AB(18ｍ)です。
BCの長さを求めたいので、
BC/ABと交差するところを調べます。
よって、BC/18＝0.1763と分かりました。
BC＝0.1763×18＝3.1734≒3.173(ｍ)
(2)
①
Aの方向に、壁の上端めがけて光線を放つと、下図のようになります。
壁の高さは1ｍ、Cの高さは3ｍなので、
(1)①(ⅱ)より、光線の先から壁までの距離は5.8ｍです。
壁の上端に沿って、光線を左にずらしていくと、下図のようになります。
光線の先が真横に移動していく理由を考えてみます。
壁の高さは常に1ｍで、Cの高さは常に3ｍです。
よって、(1)①(ⅱ)の相似形について、
光線が壁の上端に沿って移動しても、
常に相似比は1：3になります。
下図のように、(光線から壁)：(壁から光線の先)＝２：１です。
移動した光線のあとは下図のようになります。
このとき、三角形アイオと三角形アウエは相似形で、
辺イオと辺ウエは平行です。
よって、光線の先は真横に移動することが分かります。
(同じような考え方をする問題が、平成25年度の大問５で出されています。)
これで、求めるべき面積(下図の赤い長方形の部分)について、
一辺の長さが6.4－5.8＝0.6(ｍ)と分かりました。
次に、AFの長さを求めます。
長方形FGBAについて考えると、角FBA＝角BFG＝13°で、FG＝18(ｍ)です。
これを、表と照らし合わせます。
このとき、FGを底辺と考えます。
なお、表に出てくるA～Cと、図のA～Fを混同しないように、
表のAB、BC、ACを底辺、高さ、斜辺に書き直すことをお勧めします。
よって、(高さGB)/(底辺FG 18ｍ)＝0.2309とわかります。
GBの長さは0.2309×18＝4.1562(ｍ)です。
以上より、求めるべき面積は0.6×4.1562＝2.49372≒2.494(㎡)です。
②
2ステップで正解を出すことができるので、はじめに解法を確認します。
まず、FGが18ｍであることと角度が13°であることを利用して、
下図の青い直角三角形の斜辺の長さを求めます。
求めた長さは、下図の緑の直角三角形の底辺でもあります。
よって、次に、底辺の長さと高さを利用して、
うの角度を求めることができます。
では、実際に解いていきます。
まず、FBの長さを求めます。
角度が13度のとき、(底辺FG)/(斜辺FB)＝0.9744です。
よって、FBの長さは18÷0.9744≒18.473と分かります。
次に、うの角度を求めます。
(高さBC)/(底辺FB)＝３÷18.473≒0.1623…
となります。
ここで、表の(高さ)/(底辺)＝BC/ABを確認します。
表の赤い矢印のところに、0.1623があるので、
うの角度は9～10°だと分かります。
よって、答えは9度です。