2018年 立命館慶祥中学校 算数(3)
今回は，大問Ⅳ・Ⅴを取り上げて解説します。
大問Ⅳ
〔1〕 面白さ☆☆☆ 難度Ｂ
すべての三角形を書き出して数えるのではなく，規則性を見つけて要領よく数えましょう。
まず1辺が5㎝の正三角形は1個です。
次に，1辺が4㎝の正三角形は，次のように上から1～4段目に1個，
上から2～5段目に2個あるので，合わせて，1＋2＝3(個)です。
同様に考えると，1辺が3㎝の正三角形は，上から1～3段目に1個，
上から2～4段目に2個，上から3～5段目に3個あるので，合わせて，1＋2＋3＝6(個)です。
また，1辺が2㎝の正三角形は，上から1～2段目に1個，
上から2～3段目に2個，上から3～4段目に3個，
上から4～5段目に4個あるので，合わせて，1＋2＋3＋4＝10(個)です。
最後に，1辺が1㎝の正三角形は，次のように上から1段目に1個，
上から2段目に2個，上から3段目に3個，上から4段目に4個，
上から5段目に5個あるので，合わせて，1＋2＋3＋4＋5＝15(個)です。
したがって，三角形ＡＢＣと同じ向きの正三角形は全部で，
1＋3＋6＋10＋15＝35(個)あります。
答え 35個
〔2〕 面白さ☆☆☆ 難度Ｂ
正三角形ＡＢＣと異なる向きの正三角形もできることに，注意が必要です。
まず，正三角形ＡＢＣと同じ向きの正三角形を考えます。
1辺が1㎝の正三角形，1辺が2㎝の正三角形は，次のように3個ずつできます。
同様に考えると，1辺が3㎝の正三角形，1辺が4㎝の正三角形も，
それぞれ3個ずつできます。
したがって，正三角形ＡＢＣをふくめて，
正三角形ＡＢＣと同じ向きの正三角形は全部で，3×4＋1＝13(個)できます。
さらに，正三角形ＡＢＣと異なる向きの正三角形は，次の4個できます。
したがって，正三角形は全部で，13＋4＝17(個)できます。
答え 17個
〔3〕
(1) 面白さ☆☆ 難度Ａ
点Ｑと点Ｒは最初，5×2＝10(㎝)はなれているので，
はじめて重なるのは，10÷(2＋1)＝(3と1/3)(秒後)です。
この後は，点Ｑと点Ｒ合わせて，正三角形ＡＢＣの1周分，
すなわち，5×3＝15(㎝)進むごとに重なるので，15÷(2＋1)＝5(秒)ごとに重なります。
したがって，出発してから15秒間で点Ｑと点Ｒは，
(3と1/3)秒後，(3と1/3)＋5＝(8と1/3)(秒後)，
(8と1/3)＋5＝(13と1/3)(秒後)の3回重なります。
答え 3回
(2) 面白さ☆☆☆☆ 難度Ｃ
〔2〕の後半が絶妙な導入になっています。
〔2〕の後半で考えた，正三角形ＡＢＣと異なる向きの正三角形に注目します。
すると，ＡＤ＝ＢＨ＝ＣＬ，ＡＥ＝ＢＩ＝ＣＭ，ＡＦ＝ＢＪ＝ＣＮ，ＡＧ＝ＢＫ＝ＣＯのように，
辺ＡＢ上にとった点と頂点Ａの間の長さ，辺ＢＣ上にとった点と頂点Ｂの間の長さ，
辺ＣＡ上にとった点と頂点Ｃの間の長さがすべて等しくなると，
できる三角形が正三角形になります。
そこで，点Ｐ，Ｑ，Ｒと同時に頂点Ｃを出発し，
点Ｐ，Ｒと同じ秒速1㎝の速さでＣ→Ａ→Ｂ→Ｃ→…と
移動する点Ｓを考えます。
すると，つねにＡＰ＝ＢＲ＝ＣＳとなることから，
三角形ＰＲＳはいつでも正三角形になることがわかります。
したがって，3点Ｐ，Ｑ，Ｒを結んでできる三角形ＰＱＲがはじめて正三角形になるのは，
点Ｑと点Ｓがはじめて重なるとき，すなわち3つの点が出発してから，
5÷(2＋1)＝(1と2/3)(秒後)です。
答え (1と2/3)秒後
大問Ⅴ
〔1〕 面白さ☆ 難度Ａ
2人が同じ速さで進むので，ケイコさんが4周する間に，
ケイコさん自身が何ｍ進むかを求めればよいことになります。
ケイコさんは半径8ｍの円の円周上を4周するので，8×2×3.14×4＝200.96(ｍ)進みます。
したがって，ケイコさんと同じ速さで進むタツオくんも，200.96ｍ進みます。
答え 200.96ｍ
〔2〕 面白さ☆ 難度Ａ
タツオくんが進む円(大きい円)の半径は，8＋4＝12(ｍ)です。
ケイコさんとタツオくんは，たがいの距離を保ちながら進むので，
2人は，円の中心，ケイコさんの位置，タツオくんの位置がつねに一直線上にあるように進みます。
したがって，ケイコさんが小さい円の円周上を1周すると，タツオくんが大きい円の円周上を1周します。
大きい円の円周は，小さい円の円周の，(12×2×3.14)÷(8×2×3.14)＝12÷8＝1.5(倍)なので，
タツオくんの速さは，ケイコさんの速さの1.5倍です。
答え 1.5倍
〔3〕
(1) 面白さ☆☆ 難度Ａ
基本的な平面図形の相似の問題です。
次のように，やぐらの電灯の位置を点Ｏ，地面の電灯の真下の位置を点Ａ，
ケイコさんの頭のてっぺんの位置を点Ｂ，ケイコさんが地面に立っている位置を点Ｃ，
地面にできるケイコさんの影の先端の位置を点Ｄとします。
すると，三角形ＯＡＤと三角形ＢＣＤはたがいに相似な三角形となり，
その相似比は，ＯＡ：ＢＣ＝3：1.5＝2：1になります。
このとき，ＡＤ：ＣＤ＝2：1，ＡＣ：ＣＤ＝(2－1)：1＝1：1となるので，ＡＣ＝ＣＤ＝8ｍです。
したがって，ケイコさんの影の長さは8ｍです。
答え 8ｍ
(2) 面白さ☆☆☆ 難度Ｂ
問題文の
「ケイコさんの影の先は地面にはつかず，タツオくんの足にかかっていました」
という部分から，最初のケイコさんとタツオくんの距離は，
ケイコさんの影の長さよりも少し短い，つまり8ｍより少し短いことがわかります。
かりに，ケイコさんとタツオ君の距離が8ｍだとすると，大きい円の半径は，8＋8＝16(ｍ)なので，
大きい円の円周は，小さい円の円周の，(16×2×3.14)÷(8×2×3.14)＝16÷8＝2(倍)になります。
このとき，2人が同じ速さで進むと，ケイコさんが小さい円の円周上をちょうど4周したときに，
タツオくんは大きい円の円周上をちょうど，4÷2＝2(周)することになります。
実際には，最初のケイコさんとタツオくんの距離は8ｍより少し短いので，
大きい円の半径は16ｍより少し短く，大きい円の円周は，
小さい円の円周の2倍よりも少し短くなっています。
したがって，ケイコさんが小さい円の円周上をちょうど4周したときに，
タツオくんは大きい円の円周上を，2周よりも少し多く進みます。
以上のことがらと，問題文の
「ケイコさんが小さい円の円周をちょうど4周したとき，
タツオくんはケイコさんから一番遠い場所にいたとします」
という部分から，ケイコさんが小さい円の円周上をちょうど4周したときに，
タツオくんは大きい円の円周上を2.5周していることがわかります。
2人が同じ速さで進むことから，小さい円の円周の4倍が，
大きい円の円周の2.5倍と等しくなるので，大きい円の半径を□ｍとすると，
8×2×3.14×4＝□×2×3.14×2.5 という式が成り立ち，
□＝(8×2×3.14×4)÷(2×3.14×2.5)＝8×4÷2.5＝12.8(ｍ)になります。
答え 12.8ｍ