Vic's粒子

今回は，大問Ⅲを取り上げて解説します。

---

大問Ⅲ

〔1〕　面白さ☆☆　難度Ａ

Ｎ角形の内角の和は，180×(Ｎ－2)(度)の公式で求められるので，

五角形の内角の和は，180×(5－2)＝540(度)です。

したがって，正五角形の1つの内角の大きさは，540÷5＝108(度)です。

ＡＦの延長線と辺ＣＤの交点をＨとすると，

ＦＨは正三角形ＣＤＦを合同な2つの三角形に分けるので，

∠ＣＦＨ＝60÷2＝30(度)です。

また，∠ＢＣＤ＝108度，∠ＦＣＨ＝60度より，∠ＢＣＦ＝108－60＝48(度)です。

このとき，ＣＦ＝ＣＤ，ＣＢ＝ＣＤより，ＣＦ＝ＣＢなので，三角形ＣＦＢは二等辺三角形となり，

∠ＣＦＢ＝∠ＣＢＦ＝(180－48)÷2＝66(度)です。

したがって，角あの大きさは，180－66－30＝84(度)です。

答え　84度

〔2〕　面白さ☆☆　難度Ａ

ひもの長さが4ｍなので，ひもをぴんとはったまま犬が動くと，

犬が動いたあとは，次の図の太線のようになります。

したがって，犬が動ける範囲は太線の内部ということになります。

問題文中に「犬小屋の面積は含まないものとします」という記述があるので，

求める面積は，半径が4ｍ，中心角が，360－90＝270(度)のおうぎ形の面積と，

半径が2ｍ，中心角が90度のおうぎ形の面積2つ分の合計になります。

したがって，求める面積は，次のように求められます。

4×4×3.14×(270/360)＋2×2×3.14×(90/360)×2

＝12×3.14＋2×3.14

＝14×3.14

＝43.96(㎡)

答え　43.96㎡

〔3〕　面白さ☆☆☆　難度Ｂ

角柱の表面積を求めるのに，

次の公式を使い慣れている受験生にとっては簡単な問題です。

(角柱の表面積)＝(底面積)×2＋(底面のまわりの長さ)×(高さ)

ただし，1面ずつ面積を考えて解こうとすると，大変難しい問題です。

手前の面を底面，高さを12㎝と考えます。

すると，底面のまわりの長さは，たて14㎝，横10㎝の長方形のまわりの長さと等しいので，

(14＋10)×2＝48(㎝)です。

したがって，(底面積)×2＋48×12＝790という式が導き出されます。

ここから，(底面積)＝(790－48×12)÷2＝107(㎠)とわかるので，

この立体の体積は，107×12＝1284(㎤)です。

答え　1284㎤

〔4〕

(1)　面白さ☆☆☆　難度Ｂ

次の図のように，図1の①，②，③の方向から見たときに見える面を，

それぞれ，面Ａ，Ｂ，Ｃとします。

また，面ＡとＢが接している辺をＰ，面ＢとＣが接している辺をＱ，

面ＣとＡが接している辺をＲとします。

そして，各展開図での辺Ｐ，Ｑ，Ｒの位置に注目しながら，

面Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係が正しいものを選びます。

アでは， 辺Ｒに注目すると，面Ｃの向きが誤っていることがわかります。

イでは，辺Ｐと辺Ｑに注目すると，面Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係が正しいことがわかります。

このとき，展開図を組み立てると，辺Ｐどうし，辺Ｑどうしが重なるので，

次のように，面Ｃを右に90度，面Ｂを左に90度回転させて，

辺Ｐどうし，辺Ｑどうしが重なるような展開図をイメージできれば，

面Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係が正しいことがよくわかるはずです。

ウでは， 辺Ｑに注目すると，

面Ｂと面Ｃの位置関係が誤っていることが，すぐにわかります。

エでは，辺Ｐと辺Ｑに注目すると，

面Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係が正しいことがわかります。

このとき，展開図を組み立てると，辺Ｐどうしが重なるので，

次のように，面Ａを左に90度回転させて，

辺Ｐどうしが重なるような展開図をイメージできれば，

面Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係が正しいことがよくわかるはずです。

答え　イ，エ

(2)　面白さ☆☆☆　難度Ｂ

立方体を手前に1回，手前にもう1回，右に1回と転がすように動かしたとき，

図5の3つの枠と面Ａ，Ｂ，Ｃ，および，辺Ｐ，Ｑ，Ｒの重なり方は，次の図のようになります。

辺Ｐ，Ｑ，Ｒと面Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係に注目すると，

記号の向きは，次の図のようになります。

答え　上の図

立方体を転がす前に，あらかじめ面Ａ，Ｂ，Ｃを紙に垂直な向きに，

下の図のように開いておき，この3つの面をそのままの向きで

手前に1回転がすと考えてもよいでしょう。