Vic's粒子

今回は，「フローチャート」をあつかった大問5を取り上げます。

問題文が長く，条件設定もやや複雑なため，本年度の出題のなかでは最も読解力が求められる問題でした。

正確に問題の条件を把握するためには，問題文の重要な箇所に印をつけながら，

少しゆっくりと読み進める必要があります。

大問1～4に時間を使いすぎて，あせって問題文を読んでしまうと，

(1)②以降の問題をすべて落としてしまうおそれもあります。

来年度に入試をひかえた新6年生は，

『問題の条件を的確に把握する練習』という意識を強く持って，

ふだんの学習やテストに臨むようにしましょう。

なお，問題は標準札幌校ホームページの北嶺中学過去入試問題からダウンロードできます。

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大問5

(1)①　面白さ☆　難度Ａ

3001071015の各位の和を計算すると，3＋1＋7＋1＋1＋5＝18となります。

各位の数の和が9で割り切れる整数は，9の倍数なので，

18÷9＝2より，この整数は9で割り切れることがわかります。

したがって，表示される記号は「◎」です。

答え　◎

(1)②　面白さ☆☆☆　難度Ｂ

ア，イ，ウを順に考えていきますが，

常に正しいと言えないものは，成り立たない整数の組み合わせを1つ見つけられれば十分です。

アでは，2つの整数が1と2のとき，両方とも「×」と表示されますが，

和の1＋2＝3は，3の倍数であるが9の倍数ではないため，「○」と表示されます。

したがって，常に正しいとは言えません。

イでは，1つの整数(こちらをＡとします)は9の倍数で，

もう1つの整数(こちらをＢとします)は3の倍数であるが9の倍数ではありません。

このとき，整数□と△を用いて，Ａは9×□，Ｂは9×△＋3，または，9×△＋6と表せます。

Ａ＋Ｂは，9×(□＋△)＋3，または，9×(□＋△)＋6と表せるので，

Ａ＋Ｂは，3の倍数であるが9の倍数ではありません。

したがって，Ａ＋Ｂはいつでも「○」と表示されることになり，常に正しいと言えます。

ウでは，2つの整数が3と6のとき，両方とも「○」と表示されますが，

和の3＋6＝9は，9の倍数であるため，「◎」と表示されます。

したがって，常に正しいとは言えません。

以上から，常に正しいと言えるのはイです。

答え　イ

(2)①　面白さ☆☆☆　難度Ｂ

「○」と表示されるのは素数(1とその数自身でしか割れない整数)だけです。

Ｎが素数以外の整数のとき，

Ｎは必ずその数自身よりも小さい2以上の整数のうち1つ以上を約数に持つので，

「ＫはＮ未満である」，「Ｎ÷Ｋが整数である」という2つの条件を満たす2以上の整数Ｋが存在します。

したがって，Ｎが素数以外の整数のときは，「×」と表示されます。

一方，Ｎが素数のとき，Ｎは2以上の整数のうちＮでしか割れないので，

Ｋの値はどんどん大きくなっていきます。

そして，Ｋ＝Ｎとなったときに，「ＫはＮ未満である」という条件に反します。

したがって，Ｎが素数のときは，「○」と表示されます。

具体例をあげてみましょう。

Ｎ＝51のとき，Ｎ＝3×17と素因数分解できることから，

Ｋ＝3のとき，「ＫはＮ未満である」，「Ｎ÷Ｋが整数である」という2つの条件を満たします。

したがって，Ｎ＝51のときは「×」と表示されます。

Ｎ＝53のとき，53は素数であることから，

Ｋの値を2，3，4，・・・，52と順に大きくしていっても，

すべてのばあいでＮはＫで割れません。

最後にＫ＝53になったところで，「ＫはＮ未満である」という条件に反します。

したがって，Ｎ＝53のときは「○」と表示されます。

51から60までの10個の整数のうち，素数は53と59の2個なので，

この2個の整数が正解になります。

答え　53，59

(2)②　面白さ☆☆☆　難度Ｂ

「○」と表示されるのは素数だけなので，連続する2つの素数を答えればよいことになります。

2つの連続する整数のうち，一方は奇数，もう一方は偶数になりますが，

2より大きい偶数は必ず2で割り切れるので素数ではありません。

このことから，2つの連続する整数のうち，一方は2であることがわかります。

もう一方の整数は1か3ですが，最初の条件に「Ｎに2以上の整数を当てはめる」とあるので，

1は当てはまりません(そもそも1は素数ではありません)。

3は素数なので当てはまります。

したがって，2と3が正解になります。

答え　2と3

(2)③　面白さ☆☆☆　難度Ｃ

3よりも大きい3つの連続する整数ａ，ｂ，ｃのうち，ａとｃは素数で，ｂは素数以外の整数になります。

ここで，②の説明から，2よりも大きい素数は必ず奇数なので，ａとｃは奇数，ｂは偶数になります。

また，3つの連続する整数ａ，ｂ，ｃのうち，必ず1つは3の倍数になりますが，

ａとｃは3よりも大きい素数のため，3の倍数ではありません。

したがって，ｂが3の倍数になります。

このことから，ｂは偶数(2の倍数)かつ3の倍数であるので，

必ず6の倍数になることがわかります。

したがって，□にあてはまる最も大きい整数は6です。

答え　6

ａ，ｂ，ｃの組み合わせの例をあげると，

(ａ，ｂ，ｃ)＝(5，6，7)，(11，12，13)，(17，18，19)，(29，30，31)，(41，42，43)，・・・のようになり，

確かにｂが6の倍数になっていることがわかります。