2018年 北嶺中学校 算数(2)
今回は，「水そうに水を入れる問題」の大問3と，
正八面体に関係した立体図形の求積の大問4を取り上げます。
なお、問題は標準札幌校ホームページの北嶺中学過去入試問題からダウンロードできます。
大問3
(1) 面白さ☆ 難度Ａ
グラフから，四角柱あの高さは6㎝で，容器いの高さは10㎝であることがわかります。
容器いの底面積は，2×2＝4(㎠)なので，体積は，4×10＝40(㎠)です。
答え 40㎠
(2) 面白さ☆ 難度Ａ
グラフから，水面の高さが一定の，93－73＝20(秒間)は，
注がれた水がすべて容器いを満水にするのに使われたことが，わかります。
したがって，注がれる水の量は毎秒，40÷20＝2(㎤)です。
答え 2㎤
(3) 面白さ☆☆☆ 難度Ｂ
グラフから，6㎝の高さまで水が入るのに33秒かかり，
そこから，10－6＝4(㎝)分の高さまで水が入るのに，
73－33＝40(秒)かかることがわかります。
最初の33秒間で入る水量は，2×33＝66(㎤)です。
よって，「水が入る部分の底面積」は，
(水そうの底面積)－(四角柱あの底面積)－(容器いの底面積)＝66÷6＝11(㎠)です。
また，次の40秒間で入る水量は，2×40＝80(㎤)です。
よって，「水が入る部分の底面積」は，
(水そうの底面積)－(容器いの底面積)＝80÷4＝20(㎠)です。
したがって，(四角柱あの底面積)＝20－11＝9(㎠)です。
答え 9㎠
(4)と(5)は，(3)を正解できれば，難度Ａの問題といえます。
計算ミスさえしなければ，ほぼ確実に正解できるはずです。
ただし，(3)を不正解だと，(4)と(5)もほぼ自動的に不正解になります。
(3)の正解・不正解で，総合点では小問3つ分の得点差が開いてしまうことになります。
そういう意味では，本年度入試の「合否を分けた1問」と言えるでしょう。
(4) 面白さ☆ 難度Ｂ
(3)の解説中にあるように，
(水そうの底面積)－(四角柱あの底面積)－(容器いの底面積)＝11(㎠)なので，
(水そうの底面積)－9－4＝11(㎠)となります。
したがって，(水そうの底面積)＝11＋9＋4＝24(㎠)です。
答え 24㎠
(5) 面白さ☆ 難度Ｂ
水そうの底面から10㎝より上の部分に入る水量は，24×(12－10)＝48(㎤)なので,
この部分に水を入れるのにかかる時間は，48÷2＝24(秒)です。
したがって，水そうが満杯になるのは，水を注ぎ始めてから，93＋24＝117(秒後)です。
答え 117秒後
大問4
(1) 面白さ☆ 難度Ａ
次の(2)を解くためのヒントとして，出題されています。
三角形ＡＩＪは等しい辺の長さが，6÷2＝3(㎝)の直角二等辺三角形なので，
その面積は，3×3÷2＝4.5(㎠)です。
答え 4.5㎠
(2) 面白さ☆ 難度Ａ
図2の三角形ＡＩＪは，図1の三角形ＡＩＪと合同な三角形なので，その面積は4.5㎠です。
三角形ＡＩＪを底面としたときの三角柱ＡＩＪ-ＫＬＭの高さは，ＫＡ＝6÷2＝3(㎝)なので，
三角柱の体積は，4.5×3＝13.5(㎤)です。
答え 13.5㎤
(3) 面白さ☆☆☆☆ 難度Ｂ
(2)がこの問題の導入になっています。
図5の正八面体は，図2の三角すいＥ-ＡＢＤと合同な三角すい8個から成り立っています。
そして，図5の正八面体の8本の辺のまん中を線で結んでできる立体は，
図2の三角柱ＡＩＪ-ＫＬＭと合同な三角すい8個から成り立っています。
このことは，図5の正八面体の上半分だけを取り出して4等分したものに，
図2と同じ頂点の記号をつけた次の図を見ると理解できるはずです。
(2)から，三角柱ＡＩＪ-ＫＬＭの体積が13.5㎤であることがわかっているので，
求める立体の体積は，13.5×8＝108(㎤)です。
答え 108㎤
(4) 面白さ☆ 難度Ｂ
1辺の長さが12㎝の立方体の体積は，12×12×12＝1728(㎤)なので，
(3)で求めた立体の体積の1728÷108＝16(倍)です。
答え 16倍