Vic's粒子

今回は，大問Ⅲを取り上げて解説します。

大問Ⅲ

〔1〕

面白さ☆　難度Ａ

三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＥにおいて，角Ａが共通なので，

角ＡＢＣと角ＢＣＡの和が，角ＡＤＥと角ＤＥＡの和に等しくなります。

したがって，角(ア)の大きさは，

角ＡＤＥ ＋ 角ＤＥＡ － 角ＡＢＣ

＝ 27 ＋ 88 － 53

＝ 52(度) です。

答え　52度

〔2〕

面白さ☆☆　難度Ａ

おうぎ形を折り返した図中に正三角形を見つけるタイプの問題は，入試頻出です。

ＰＱを折り目として折り返すと，三角形ＯＰＱが三角形ＲＰＱに移るので，

三角形ＯＰＱと三角形ＲＰＱは合同です。

したがって，次のことがわかります。

ＯＰ＝ＲＰ・・・①

角ＯＰＱ＝角ＲＰＱ・・・②

角ＯＱＰ＝角ＲＱＰ・・・③

また，ＯＰとＯＲはともにおうぎ形の半径なので，ＯＰ＝ＯＲ・・・④です。

①，④より，ＯＰ＝ＲＰ＝ＯＲとなるので，三角形ＯＲＰは正三角形になり，角ＯＰＲ＝60度・・・⑤です。

②，⑤より，角ＯＰＱ＝角ＲＰＱ＝60÷2＝30(度)・・・⑥です。

三角形ＯＰＱにおいて，角ＯＱＰ＝180－108－30＝42(度)・・・⑦です。

③，⑦より，角(イ)の大きさは，180－42×2＝96(度)です。

答え　96度

〔3〕

面白さ☆☆☆　難度Ｂ

ＡＤの延長線上に点Ｈをとり，角ＤＨＧ＝90度になるようにします。

このとき，三角形ＧＤＨと三角形ＥＤＣにおいて，

ともに正方形ＤＥＦＧの辺であることから，ＧＤ＝ＥＤ・・・①です。

また，角ＥＣＤ＝180－90＝90(度)なので，角ＧＨＤ＝角ＥＣＤ・・・②です。

さらに，角ＧＤＥは正方形の1つの内角なので90度であり，角ＣＤＨ＝180－90＝90(度)なので，

角ＧＤＨ＝90(度)－角ＨＤＥ，

角ＥＤＣ＝90(度)－角ＨＤＥとなり，

角ＧＤＨ＝角ＥＤＣ・・・③です。

①，②，③より，1辺と2つの角がそれぞれ等しいので，三角形ＧＤＨと三角形ＥＤＣは合同です。

ＧＨ＝ＥＣ＝12(㎝)となるので，三角形ＡＤＧのＡＤを底辺としたときの高さは，12㎝です。

ＡＤ＝5㎝なので，影をつけた部分(三角形ＡＤＧ)の面積は，5×12÷2＝30(㎠)です。

答え　30㎠

〔4〕

(1)

面白さ☆☆☆　難度Ｂ

このような問題では，

まず，真上から見た図の各列ごとに，

正面と右から見たときに見える立方体の個数(ここでは○数字で表しています)を書き出します。

 

次に，その個数に適するように，

真上から見た図の各マスに積まれている立方体の個数を書きこんでいきます。

積まれている個数が1個のマスはすぐにわかるので，

そのマスに1を書きこみ，それ以外の16マスに記号をつけると，次の図のようになります。

使う積み木の数をもっとも多くするときは，

記号をつけたマスのうち，Ｆ，Ｇ，Ｊ，Ｋの4マスに3個，その他の12マスに2個の立方体を積みます。

したがって，2段目と3段目に使う積み木の数は，(3－1)×4＋(2－1)×12＝20(個)になります。

このとき，各マスに積まれている立方体の個数は，次の図のようになります。

答え　20個

(2)

面白さ☆☆☆☆　難度Ｃ

使う積み木の数をもっとも少なくするときは，

記号をつけたマスのうち，

ＦとＫ，またはＧとＪの2マスに3個，

ＡとＰ，またはＤとＭの2マスに2個，

残りの12マスに1個の立方体を積みます。

したがって，2段目と3段目に使う積み木の数は，(3－1)×2＋(2－1)×2＝20(個)になります。

このとき，各マスに積まれている立方体の個数の一例は，次の図のようになります。

答え　6個