Vic's粒子

今回は，本年度入試で最も難しかった大問3を取り上げます。

数の性質の問題ですが，全部の場合を調べ上げるのはかなり大変です。

問題全体を通して上手な誘導がなされているので，

小問を順に解いていく中でうまく規則性を見つけて，

調べる回数を減らすことが肝心です。

問題を解くための方針を定められずにいると，

大きな時間のロスにもつながりかねません。

なお、問題は標準札幌校ホームページの北嶺中学過去入試問題からダウンロードできます。

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大問3

(1)

面白さ☆☆　難度Ａ

Ｅ＊Ｂ＝(1，2，3)→(1，3，2)→(3，2，1)＝Ｆ

答え　Ｆ

(2)

面白さ☆☆☆　難度Ｂ

まず，Ａ～Ｆの3つの対応を，次のように3つのグループに分けます。

グループ①　3つの数が全く変化しない対応・・・Ａ

グループ②　1つの数が変化せず，残り2つの数が入れかわる対応・・・Ｂ，Ｃ，Ｆ

グループ③　3つの数がすべて変化する対応・・・Ｄ，Ｅ

ここで，Ｘがグループ②のとき，Ｘ＊Ｘの対応は，

(1，2，3)

→(1つの数が変化せず，残り2つの数が入れかわる)

→(1回目に変化しなかった１つの数はそのままで，1回目で入れかわった2つの数がもとにもどる)

→(1，2，3)

のように，(1，2，3)にもどることがわかります。

例えば，Ｂ＊Ｂ＝(1，2，3)→(1，3，2)→(1，2，3)＝Ａのようになります。

次に，Ｘがグループ③のとき，Ｘ＊Ｘの対応は，

Ｄ＊Ｄ＝(1，2，3)→(2，3，1)→(3，1，2)＝Ｅ

Ｅ＊Ｅ＝(1，2，3)→(3，1，2)→(2，3，1)＝Ｄ

のようになります。

よって，Ｘ＊Ｘ＝Ａが成り立つのは，Ｘ＝Ｂ，Ｃ，Ｆのときです。

答え　Ｂ，Ｃ，Ｆ

(3)

面白さ☆☆☆☆☆　難度Ｃ

いま，Ａ＊Ａ＝Ａ，Ａ＊Ｘ＝Ｘ＊Ａ＝Ｘは明らかです。

さらに，(1)，(2)からわかる対応を加えて表にすると，次のようになります。

ここから，残りの対応を考えるのですが，すべての場合を調べるのは大変です。

Ｘ，Ｙがどのグループかで場合分けして，「規則性」を見つけましょう。

その1・・・Ｘ，Ｙがともにグループ②のとき。

Ｂ＊Ｃ＝(1，2，3)→(2，1，3)→(3，1，2)＝Ｅ

Ｃ＊Ｂ＝(1，2，3)→(1，3，2)→(2，3，1)＝Ｄのようになるので，

対応は，ＤまたはＥのいずれかと等しくなり，Ｘ＊Ｙ≠Ｙ＊Ｘであることが予想できます。

※実際には，Ｂ＊Ｆ＝(1，2，3)→(3，2，1)→(2，3，1)＝Ｄ

Ｆ＊Ｂ＝(1，2，3)→(1，3，2)→(3，1，2)＝Ｅ

Ｃ＊Ｆ＝(1，2，3)→(3，2，1)→(3，1，2)＝Ｅ

Ｆ＊Ｃ＝(1，2，3)→(2，1，3)→(2，3，1)＝Ｄ

のようになるのですが，

実際の試験では，最初の2例から結果を予想して，

他のパターンを調べていくのが現実的でしょう。

その2・・・Ｘ，Ｙがグループ②，③に分かれるとき。

(1)より，Ｅ＊Ｂ＝Ｆがわかっています。

Ｂ＊Ｅ＝(1，2，3)→(3，1，2)→(2，1，3)＝Ｃのようになるので，

対応は，Ｂ，Ｃ，Ｆのいずれかと等しくなり，Ｘ＊Ｙ≠Ｙ＊Ｘであることが予想できます。

ここでも，他のパターンを調べることを優先します。

その3・・・Ｘ，Ｙがともにグループ③のとき。

Ｄ＊Ｅ＝(1，2，3)→(3，1，2)→(1，2，3)＝Ａ

Ｅ＊Ｄ＝(1，2，3)→(3，1，2)→(1，2，3)＝Ａのようになるので，

対応は，Ａと等しくなり，Ｘ＊Ｙ＝Ｙ＊Ｘであることがわかります。

以上から，Ｘ，ＹがＤとＥであるとき，Ｘ＊Ｙ＝Ｙ＊Ｘが成り立つことがわかりました。

答え　Ｄ，Ｅ

(4)

面白さ☆☆☆☆☆　難度Ｃ

ここまででわかった対応を表にすると，次のようになります。

ここから，選ばれる3つがどのグループかを考えます。

まず，3つがすべてグループ②(Ｂ，Ｃ，Ｆ)のとき，

Ｘ＊Ｙの対応は，Ａ，Ｄ，Ｅのいずれかと等しくなるので，条件に適しません。

よって，求める3つには必ずグループ③(Ｄ，Ｅ)が含まれます。

かりにＤがふくまれるとすると，Ｄ＊Ｄ＝Ｅより，Ｅもふくまれます。

このとき，Ｄ＊Ｅ＝Ｅ＊Ｄ＝Ａより，Ａもふくまれます。

残りの組み合わせは，Ａ＊Ａ＝Ａ，Ａ＊Ｄ＝Ｄ＊Ａ＝Ｄ，Ａ＊Ｅ＝Ｅ＊Ａ＝Ｅとなります。

よって，Ａ，Ｄ，Ｅの3つを選べば，

Ｘ＊Ｙの対応は，必ずＡ，Ｄ，Ｅのいずれかと等しくなるので，条件に適します。

答え　Ａ，Ｄ，Ｅ