2015年 函館ラ・サール中学校 第1次入試(2)
今回は、函館ラサール中学校の第1次入試について、大問5を取り上げます。
(1)は立体図形、(2)は平面図形(相似)の問題です。
(2)について、本年度の第１次入試では最高難度の問題ですが、
手が出ない難問というわけではなく、図形の折り返しと相似の関係を学ぶにはもってこいの良問です。
受験者平均63.5点、合格者平均74.0点と、かなり高めの平均点を記録していることからも、
学力上位層にとっては、それほど苦労するレベルの問題ではないことがうかがえます。
(1)
面白さ☆☆☆ 難度Ｂ
参考2は、(円すいの体積)＝(底面積)×(高さ)÷3 という公式を説明しているだけなので、
知識として知っている受験生がほとんどでしょう。
一方、参考1は、この問題を解くのに大きなヒントになります。
このヒントがなくても正解を出すことは可能ですが、難度がぐっと高くなります。
ＡＢ：ＢＣ：ＣＡ ＝ 16：12：20 ＝ 4：3：5 なので、
ＡＤ＝ＤＣのとき、参考1より、ＤＢ：ＢＣ：ＣＤ ＝ 7：24：25 です。
よって、ＤＢ ＝ 12×7/24 ＝ 3.5(㎝)、
ＣＤ ＝ 12×25/24 ＝ 12.5(㎝) になります。
ここで、ＣＤの延長上に点Ｅをとり、角ＡＥＢが直角になるようにすると、
角ＣＤＢ ＝ 角ＡＤＥ、角ＣＢＤ ＝ 角ＡＥＤ、ＣＤ ＝ ＡＤ より、
2つの角と1辺が等しいので、三角形ＣＤＢと三角形ＡＤＢは合同になります。
求める立体は、
ＡＥを底面の半径とし、ＣＥを高さとする円すいから、
ＡＥを底面の半径とし、ＤＥを高さとする円すいをのぞいた立体です。
その体積は、ＡＥを底面の半径とし、ＣＤを高さとする円すいの体積に同じになります。
ＡＥ ＝ ＣＢ ＝ 12㎝、ＣＤ ＝ 12.5㎝ なので、
求める体積は 12×12×3.14×12.5÷3 ＝ 1884(㎤) になります。
答え 1884㎤
※参考1があたえられていない場合は、次のように考えます。
ＤからＡＣに垂線ＤＨを引くと、ＤＨによって三角形ＡＤＣは合同な2つの三角形に分けられます。
このとき、三角形ＡＤＨは三角形ＡＣＢと相似になるので、ＡＨ：ＨＤ：ＤＡ ＝ 4：3：5 です。
ＡＨ ＝ 20÷2 ＝ 10(㎝) なので、
ＡＤ ＝ ＣＤ ＝ 10×5/4 ＝ 12.5(㎝)、ＤＢ ＝ 16－12.5 ＝ 3.5(㎝) となり、
ＤＢ：ＢＣ：ＣＤ ＝ 3.5：12：12.5 ＝ 7：24：25 になります。
(2)
面白さ☆☆☆☆ 難度Ｃ
折り返した後にできる図形を、正確に作図できないと、正解にたどりつくのは難しいでしょう。
このときの折り目をＥＦ(折り目の両はしの点のうち、辺ＡＢ上の点をＥ，辺ＣＤ上の点をＦとします)とし、
台形ＡＥＦＤをＥＦを折り目として折り返したときに、点Ａが移る点をＧ、点Ｄが移る点をＨとします。
また、ＢＣとＧＨの交わる点をＩとします。
このとき、折り返した後にできる図形は、下のようになります。
ここで、三角形ＰＢＱに注目します。
条件から、ＰＢ ＝ 4㎝、ＢＱ ＝ 3㎝、角ＰＢＱ ＝ 90° なので、
三角形ＰＢＱは、ＰＢ：ＢＱ：ＱＰ ＝ 3：4：5 の直角三角形であることがわかります。
また、点Ｐが点Ｑに移ることから、ＰＥ＝ＥＱとなります。
このときにできる図形をよく見ると、三角形ＰＢＱと三角形ＥＢＱは、
それぞれ、(1)の三角形ＡＢＣ、三角形ＤＢＣを4分の1に縮小した三角形になっていることがわかります。
よって、ＥＢ ＝ ＤＢ÷4 ＝ 3.5÷4 ＝ 0.875(㎝) になります。
また、角ＢＱＥ ＝ 角ＧＱＩ、角ＥＢＱ ＝ 角ＩＧＱ、ＢＱ ＝ ＱＧ ( ＝ ＡＰ ＝ 3㎝ )より、
2つの角と1辺が等しいので、三角形ＥＢＱと三角形ＩＧＱは合同になります。
同様に考えると、三角形ＥＢＱ、三角形ＩＧＱ、三角形ＩＣＲ、三角形ＦＨＲは、
すべて合同な三角形になります。
このとき、ＢＥ ＝ ＤＦより、折り目ＥＦは正方形ＡＢＣＤの面積を2等分するので、
折り返したあとにできる図形の面積は、
正方形ＡＢＣＤの面積の半分に、三角形ＩＧＱの面積と三角形ＦＨＲの面積を加えたものになります。
よって、求める面積は、7×7÷2＋3×0.875÷2×2 ＝ 27.125(㎠) になります。
答え 27.125㎠