2014年 灘中学校 算数(2)
今回は灘中学校の2日目を解説します。
2014年度入試での算数2日目の結果は、受験者平均が49.7点、合格者平均点が63.9点でした。
昨年度に比べて受験者平均は約5点、合格者平均点は約7点の下降となり、
2日目だけでみると過去5年間で2番目に低い点数でした。
算数2日目は大問5題の形式が定着しています。
2014年度の総解答数は18題でした。
1日目とは異なり、ほぼすべての問題で、答え以外の文章や式、図など「答えを導く過程」を書く必要があります。
途中の過程が正しく書かれていれば、正解ではなくても部分点があたえられます。
出題分野は多岐にわたりますが、必ず「立体図形」の問題が出題されるのが大きな特徴です。
また、「数の性質」「場合の数」「速さ」「平面図形」の問題も頻出です。
高度な処理能力、発想力、立体のセンスが要求される良難問が多く、
日頃から相当ハイレベルの演習量が要求されます。
今回は、2日目の中で特に面白い問題を、場合の数・数の性質の分野から1題ずつ取り上げます。
かなり高いハードルではありますが、うまく着眼点を見つけられれば、完答することも可能です。
(1)
難度Ｃ 面白さ☆☆☆☆
例に示された、縦30㎝、横20㎝の壁のタイルのしきつめ方をＡとします。
すると、縦30㎝、横40㎝の壁で、下のように左右にＡが2つ並ぶようなしきつめ方は、
3×3＝9(通り)あります。
左右にＡが2つ並ぶ以外のしきつめ方は、下の2通りです。
※このしきつめ方をＢとします。
9＋2＝11(通り)
答え 11通り
(2)
難度Ｄ 面白さ☆☆☆☆☆
縦30㎝、横60㎝の壁で、下のように横にＡが3つ並ぶようなしきつめ方は、3×3×3＝27(通り)あります。
また、下のように横にＡとＢが並ぶようなしきつめ方は、それぞれ2×3＝6(通り)ずつあります。
これら以外のしきつめ方は、下の2通りです。
27＋6×2＋2＝41(通り)
答え 41通り
(1)
難度Ａ 面白さ☆
6×6＝36、36÷14＝2あまり8、7×7＝49、49÷14＝3あまり7、
8×8＝64、64÷14＝4あまり8、9×9＝81、81÷14＝5あまり11
答え (順に)8、7、8、11
(2)
難度Ｂ 面白さ☆☆☆
(1)より、「操作」を施しても値が変わらないＤは、0、1、7、8の4通りあります。
4桁の数字がすべて、0、1、7、8のいずれかであるような整数を考えればよいので、
(千の位には0がこないことに注意すると)3×4×4×4＝192(個)あります。
答え 192個
(3)
難度Ｄ 面白さ☆☆☆☆☆
(1)より、「操作」を施して値が小さくなるＤは、4だけです。
また、Ｄ＝5、9のときは「操作」を施すと11が作られて桁数が増えてしまうため、
4桁の数字のいずれかに5または9が含まれると、「操作」後の値が必ず大きくなります。
「操作」後の値が小さくなるような4桁の整数には、
4桁の数字のいずれかに必ず4が含まれるので、
4の位置で場合分けして考えます。
① 4□□□・・・□ は0、1、2,、3、4、6、7、8のいずれか。
8×8×8＝512(個)
② △4□□・・・△ は1、7、8のいずれか。□は0、1、2、3、4、6、7、8のいずれか。
3×8×8＝192(個)
③ △△4□・・・△ は0、1、7、8のいずれか。□は0、1、2、3、4、6、7、8のいずれか。
3×4×8＝96(個)
④ △△△4・・・△ は0、1、7、8のいずれか。
3×4×4＝48(個)
①から④を合わせると、512＋192＋96＋48＝848(個)あります。
答え 848個
(4)
難度(2)(3)が正解ならばＡ 面白さ☆☆☆
ここまでくれば、(4)はオマケのようなものですね。
4桁の整数は全部で9000個あるので、そこから(2)、(3)で求めた整数を除いた数は、
「操作」後の値が大きくなります。
9000－192－848＝7960(個)あります。
答え 7960個