Vic's粒子

今回は、大問4と大問6を取り上げます。

どちらも、合格するためには確実に正解しておきたい問題です。

特に、大問6の「断頭三角柱の求積」は、2015年度の北嶺入試でも出題の可能性があります。

2014年度の北嶺入試では立体図形の出題が1問もなかったので、

2015年度入試では出題の可能性が高いと思われます。

この分野を苦手にしている人は要注意です。

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(1)

〈1×1〉＝1、〈2×2〉＝4、〈3×3〉＝9、〈4×4〉＝6、〈5×5〉＝5、

〈6×6〉＝6、〈7×7〉＝9、〈8×8〉＝4、〈9×9〉＝1、〈10×10〉＝0 より、

1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45

答え　45

 

(2)

〈1×1〉＋〈2×2〉＋〈3×3〉＋・・・・・・＋〈10×10〉＝1＋4＋9＋・・・・・・＋0＝45

〈11×11〉＋〈12×12〉＋〈13×13〉＋・・・・・・＋〈20×20〉＝1＋4＋9＋・・・・・・＋0＝45

のように、10個を周期として同じ値がくり返されます。

〈1×1〉から〈2010×2010〉までの2010個の和は、

45×(2010÷10)＝9045 になります。

〈2011×2011〉から〈2014×2014〉までの4個の和は、

1＋4＋9＋6＝20 になります。

9045＋20＝9065

答え　9065

 

(3)

(1)で書きだした〈1×1〉から〈10×10〉までの値のうち、8の約数になっているのは、

〈1×1〉＝1、〈2×2〉＝4、〈8×8〉＝4、〈9×9〉＝1

の4つです。

つまり、[Ａ]×〈Ａ×Ａ〉＝8 となるのは、

〈Ａ×Ａ〉＝1 かつ[Ａ]＝8、または、〈Ａ×Ａ〉＝4 かつ[Ａ]＝2

の2通りのパターンしかありません。

〈Ａ×Ａ〉＝1 かつ[Ａ]＝8 のとき、Ａ＝81、89

〈Ａ×Ａ〉＝4 かつ[Ａ]＝2 のとき、Ａ＝22、28

答え　22、28、81、89

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(1)

切り口は次のようになります。

ここで、三角すいＡ－ＤＢＣの底面を三角形ＤＢＣ、

三角すいＡ－ＤＥＦの底面を三角形ＤＥＦと考えます。

三角形ＤＢＣと三角形ＤＥＦは、たがいに相似な三角形で、

相似比は、ＤＢ：ＤＥ＝2：1 です。

三角形ＤＢＣと三角形ＤＥＦの面積比は、2×2：1×1＝4：1 になるので、

三角すいＡ－ＤＢＣと三角すいＡ－ＤＥＦの体積比は、4：1 です。

よって、三角すいＡ－ＤＥＦの体積は、6×6÷2×6÷3÷4＝9(㎤)です。

答え　9㎤

 

ここで「断頭三角柱」について説明しておきましょう。

「断頭三角柱」とは次のように、三角柱を1つの平面で切ったものです。

角ＤＥＦ＝90°のとき、この立体の体積を求めてみましょう。

断頭三角柱の体積は、次の公式で求められます。

もとの三角柱の底面積をＳとすると、

(断頭三角柱の体積)＝Ｓ×(ａ＋ｂ＋ｃ)÷3

となります。

3×4÷2×(4＋1＋6)÷3＝22(㎤)

(2)

まずは切り口を考えます。

切り口の平面と辺ＡＣとの交点をＩとします。

ＤＧ：ＧＢ＝ＡＨ：ＨＢより、ＤＡとＧＨは平行なので、

ＧＨは三角形ＡＢＣに対して垂直です。

このとき、切り口の面が三角形ＡＢＣに対して垂直になるので、

ＦＩもまた、三角形ＡＢＣに対して垂直です。

よって、切り口は次のようになります。

このとき、ＤＡとＦＩが平行になるので、ＤＦ：ＦＣ＝ＡＩ：ＩＣ＝1：1 となります。

あとは、断頭三角柱の考え方で解くことができます。

ＡＨ＝ＡＢ×1/3＝2(㎝)、ＡＩ＝ＡＣ×1/2＝3(㎝)、

ＧＨ＝ＤＡ×2/3＝4(㎝)、ＦＩ＝ＤＡ×1/2＝3(㎝)、

求める立体の体積は、

(三角形ＡＨＩの面積)×(ＤＡ＋ＧＨ＋ＦＩ)÷3＝2×3÷2×(6＋4＋3)÷3＝13(㎤)

答え　13㎤

 

「断頭三角柱」を利用する解法は、大変便利です。ぜひ習得して下さい。