2014年 北嶺中学校 算数(1)
本年度の入試は、試験時間が50分から60分に変更されて2年目になります。
大問は5問で例年通りですが、小問総数は21問で、昨年より3問増えました。
受験者平均点は36.5点(昨年度は45.0点)、合格者平均点は48.6点(昨年度は61.4点)、
最高点は90点(昨年度は100点)と、問題は昨年よりも難しくなったようです。
2012年の大問5のような難問はありませんが、正確に作業する力と処理能力を必要とする
問題が並びました。
特に、大問4を完答するのは難しかったようです。
出題分野別では、2006年から出題が続いていた立体図形の問題が1問も出題されず、
平面図形の出題が増加したのが大きな変更点です。
2014年度の出題内容は、次の通りです。
大問1 計算問題4問
大問2
(1)整数の性質(かけ算の一の位)
(2)整数の性質(倍数)
(3)規則性(分数の列)
(4)割合
(5)平面図形(長方形の面積)
大問3 損益算(仕入れ値、売り値、利益の関係)
大問4 点、直線の移動と通過した部分の面積
大問5 平面図形(図形の折り返しと角度)
今回は、本年度の問題で最も難しかったと思われる大問4を解説します。
本問は、各小問が次の小問のヒントになっており、「導入」の効いた良問です。
問題は、標準札幌校のホームページの北嶺中学校過去入試問題からダウンロードできます。
(1)
難度A 面白さ☆☆☆☆☆
ＡがＣよりも1周だけ多く動けば、3点Ｏ、Ａ、Ｃがこの順で再び一直線上に並びます。
1分間にＡは、1/2周、Ｃは1/10周するので、ＡとＣの周回数の差が1周になるのは、
1÷(1/2－1/10)＝2.5(分後)です。
答え 2分30秒後
「惑星の会合周期の公式」
2つの惑星の公転周期をそれぞれＡ日、Ｂ日とすると、
2つの惑星が最も近づいてから次に最も近づくまでの日数は、
Ａ×Ｂ÷(Ａ－Ｂ)日である。
上の公式を利用して、10×2÷(10－2)＝2.5(分後)としてもよいでしょう。
(2)
難度C 面白さ☆☆☆☆☆
5分後には、Ａが2.5周、Ｂが1/12周、Ｃが1/2周しているので、3点の位置は下のようになります。
Ａの動きがＣよりも速いので、5分後までにＯＣが通過した部分(この部分をＳ1とします)のうち、
3周目にＯＡが通過した部分(この部分をＳ2とします)は銀色です。
また、Ｂの動きがＣよりもおそいので、5分後までにＯＢが通過した部分
(このうち、Ｓ2に含まれない部分をＳ3とします)も銀色です。
Ｓ1＝54÷2＝27(㎠)
Ｓ2＝6÷2＝3(㎠)
Ｓ3＝(24－6)÷12＝1.5(㎠)
よって、5分後の金色の面積は、
27－3－1.5＝22.5(㎠)です。
答え 22.5㎠
(3)
難度D 面白さ☆☆☆☆☆
ＣがＢよりも1/2周だけ多く動けば、3点Ｂ、Ｏ、Ｃがこの順で再び一直線上に並びます。
1分間に、Ｂは1/60周、Ｃは1/10周するので、ＢとＣの周回数の差が1周になるのは、
1/2÷(1/10－1/60)＝6(分後)です。
6分後には、Ａが3周、Ｂが1/10周、Ｃが3/5周しているので、3点の位置は下のようになります。
5分後を基準に考えると、
6分後までにＯＣが通過した部分(この部分をＳ1とします)のうち、銀色になっているのは、
5分後のＳ2の部分および、6分後までにＯＢが通過した部分
(このうち、Ｓ2に含まれない部分をＳ3とします)です。
Ｓ1＝54×3/5＝32.4(㎠)
Ｓ2＝3(㎠)
Ｓ3＝(24－6)×1/10＝1.8(㎠)
よって、6分後の金色の面積は、
32.4－3－1.8＝27.6(㎠)です。
答え 27.6㎠
(4)
難度D 面白さ☆☆☆☆☆
6分後を基準に考えます。
6分後から7分後までの間は、
ＯＣが通過した部分(この部分をＳ1とします)のうち、銀色になっているのは、
5秒後のＳ2の部分および、ＯＢが通過した部分
(このうち、Ｓ2に含まれない部分をＳ3とします)です。
6分後以降、Ｓ1は1分間に54×1/10＝5.4(㎠)ずつ増加し、
Ｓ3は1分間に(24－6)×1/60＝0.3(㎠)ずつ増加します。
よって、金色の部分の面積は1分間に5.4－0.3＝5.1(㎠)ずつ増加します。
以上より、金色の部分の面積が初めて31㎠になるのは、
6＋(31－27.6)÷5.1＝6と2/3(分後)です。
答え 6分40秒後