2005年 北嶺中学校 算数(1)
『北嶺突破ゼミ』開講に合わせて、過去の北嶺入試で出題された難問や、
合否を分けた問題を取り上げて解説しています。
第8回目は、2005年の大問5です。
2005年度の算数は、受験者平均58.0点、合格者平均67.5点でした。
本校の入試問題では平均的な難度と言えます。
大問5は、初めて同様の問題を解いた受験生は面食らったかもしれませんが、
中堅校以上の入試問題では「定番」と言える内容です。
『反射は折り返し』というセオリーを理解していれば、
全問正解するのはそれほど難しくありません。
解法を知っているか知らないかで、大きく差がつく問題と言えるでしょう。
問題は、標準札幌校のホームページの北嶺中学校過去入試問題からダウンロードできます。
(1)
難度Ａ 面白さ☆☆
点Ｐの動きは容易に作図できます。
答え 2回はねかえって頂点Ｃに止まる。
このように、『点が図形の内部を、辺にぶつかるたびに反射しながら進む』という問題では、
点が反射する辺で図形を折り返して、点の動きを直線にして考えるのが効果的です。
上の問題では，下図のように折り返します。
(2)
難度Ｂ 面白さ☆☆☆
正方形ＡＢＣＤを、次々に辺で折り返して点Ｐの動きを直線で考えます。
このとき、点Ｐが頂点Ｂで止まるのは、上方向への折り返し回数が奇数で、
右方向への折り返し回数が偶数のときです。
点Ｅが辺ＢＣ上にあることから、右方向へは最低1回は折り返すので、
折り返しの回数が最も少ないのは、上方向に1回、右方向に2回折り返すときだとわかります。
作図してみると，下のようになります。
このとき、ＡＢ：ＢＥ＝3：2なので、ＢＥ＝18÷3×2＝12(㎝)です。
答え 12㎝
(3)
難度Ｃ 面白さ☆☆☆☆
点Ｐが頂点Ｄで止まるのは、上方向への折り返し回数が偶数で、
右方向への折り返し回数が奇数のときです。
点Ｐが5回はねかえることから、合計の折り返し回数は5回とわかるので、
折り返し方は下の2通りになります。
(ア) 上方向に0回、右方向に5回折り返す。
(イ) 上方向に2回、右方向に3回折り返す。
このうち、(ア)の場合が問題に示されています。
(イ)の場合を作図してみると，下のようになります。
このとき、ＡＢ：ＢＥ＝4：3なので、ＢＥ＝18÷4×3＝13.5(㎝)です。
答え 13.5㎝